L’histoire d’une équation et d’une tasse à café
Dans les bureaux d'ºÚÁÏרÇø, les tableaux blancs couverts d'équations de physique font partie du décor. Plus inattendu : une tasse à café bleu foncé sur laquelle est inscrite l’une de ces équations en caractères manuscrits. Il ne s'agit toutefois pas de la formule la plus directement associée à la fusion, celle qui décrit la réaction deutérium-tritium. Alors, d'où vient cette équation ?
Cette formule, élégante et esthétique même pour un Å“il non scientifique, est l’équation de Grad-Shafranov. En quelques mots, il s’agit de l’équation qui permet à des scientifiques tels que Yuri Gribov, chez ºÚÁÏרÇø, de définir les conditions permettant de stabiliser la position du plasma en combustion et de le maintenir à une distance suffisante des parois de la chambre du tokamak.
Plus précisément, la formule de Grad-Shafranov est une équation mathématique qui décrit l’équilibre entre les forces magnétiques et la pression du plasma dans un plasma axisymétrique comme ceux des tokamaks : « l’équation d’équilibre d’un plasma bidimensionnel en magnétohydrodynamique (MHD) idéale » (plus de détails ).
L’équation qui orne la tasse à café ºÚÁÏרÇø a été écrite de la main de Yuri Gribov, ce qui n’est pas un hasard car il existe un lien direct entre lui et Vitaly Shafranov. Diplômé de l'université d'État de Moscou en 1977, il a rejoint l'Institut Kurchatov, où il a commencé à travailler sous la supervision de Valery Chuyanov, qui allait prendre la direction du département Science et Technologie de la fusion d'ºÚÁÏרÇø de 2006 à 2012. Il a ensuite rejoint le département de physique théorique dirigé par Vitaly Shafranov.
« La modélisation du contrôle magnétique du plasma dans les tokamaks repose sur l’équation de Grad-Shafranov », explique Yuri Gribov. « Déduite de principes de physique fondamentaux, cette équation a été vérifiée par de nombreuses expérimentations, et c’est précisément ce qui fait la fiabilité de nos calculs concernant la position et la forme du plasma dans les tokamaks. »
Yuri Gribov se souvient de lui comme d’un homme doux, sensible et très intelligent, qu’il qualifie de « génie ». « Ses travaux sur la fusion sont longtemps restés secrets. Une fois déclassifiés, ils ont commencé à être publiés dans des revues scientifiques. Il est ensuite devenu un professeur et un mentor très respecté, avec qui les étudiants adoraient travailler. Il a accompagné de très nombreux étudiants de doctorat, dont plusieurs ont fait carrière, notamment Leonid Zhakharov, à Princeton, et Vladimir Pustovitov, à l’Institut Kurchatov. »
Mais qui est le « Grad » de l’équation ?
« Cette équation porte deux noms car Grad et Shafranov l’ont établie indépendamment l’un de l’autre, et presque simultanément, mais en utilisant deux approches différentes », explique Yuri Gribov.
Harold Grad était un mathématicien appliqué américain qui travaillait sur la théorie générale de l’équilibre des plasmas dans les champs magnétiques en utilisant des équations de MHD. Son approche reposait sur une méthode variationnelle : trouver une fonction de flux magnétique qui minimise l’énergie du système à pression et courant fixes¹.
Pour sa part, Vitaly Shafranov s’intéressait au confinement pratique du plasma dans un tore intégrant explicitement la géométrie toroïdale dans laquelle le champ magnétique est non uniforme et varie selon le rayon et la hauteur du tore (comme dans un tokamak). Il en a déduit l’équation qui traduit l’équilibre de force dans un champ magnétique toroïdal².
En termes mathématiques, les résultats de Vitaly Shafranov se sont révélés équivalents à la formulation plus générale de Harold Grad, mais ils concernaient directement les configurations toroïdales. Vitaly Shafranov et Vladimir Mukhovatov ont ensuite appliqué cette équation à une configuration de tokamak particulière (plasmas circulaires) permettant une résolution analytique. Ils ont ainsi obtenu des formules simples pour deux paramètres clés de l’équilibre d’un plasma dans le tokamak : le décalage de Shafranov et le champ vertical de Shafranov.
« Alors que l’équation de Grad-Shafranov propose un modèle fiable pour le contrôle magnétique du courant, de la position et de la forme du plasma », dit Yuri Gribov, « il n’existe pour l’instant pas de modèle aussi fiable pour contrôler les paramètres cinétiques du plasma, notamment l’ordre de grandeur et le profil dans le plasma de sa température. » C’est aussi problématique que de prévoir la météo avec précision. « Tout comme la météo, le plasma possède un nombre infini de degrés de liberté et ses paramètres cinétiques dépendent non linéairement de nombreuses conditions. C’est ce qui rend nos travaux sur le contrôle du plasma si passionnants ! »
Et c’est ce qui explique le succès des tasses à café ºÚÁÏרÇø… (à découvrir ).
¹L’équation de Grad a été publiée en 1958 dans H. Grad and H. Rubin, Hydromagnetic Equilibria and Force-Free Fields, Proceedings of the Second United Nations International Conference on the Peaceful Uses of Atomic Energy, 1-13 septembre 1958, Genève, P/386.
²L’article de Shafranov « On magnetohydrodynamic equilibrium configurations » a été publié en 1957, en russe, dans le Journal of Experimental and Theoretical Physics (URSS). 33 (1957) 710-722. Il a été traduit en anglais en 1958 dans Soviet Physics JETP 6(33) (1958) 545-554.